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江苏省南通市2020届高三第二次模拟考试(5月)数学试卷含答案.DOCX

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江苏省 南通市 2020 届高三 第二次 模拟考试 数学试卷 答案
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江苏省南通市2020届高三第二次模拟考试(5月) 数 学 满分160分,考试时间120分钟 2020.5 参考公式 样本数据x1,x2,,xn的方差s2=圆柱的体积公式V圆柱=Sh,其中S是圆柱的底面积,h为高. 圆柱的侧面积公式S圆柱侧=cl,其中c是圆柱底面的周长,l为母线长. 球的体积公式V球=πR3,球的表面积公式S球=4πR2,其中R为球的半径. 一、 填空题本大题共14小题,每小题5分,共70分. 1. 已知集合M={-2,-1,0,1},N={x|x2+x≤0},则M∩N=________. 2. 已知复数为纯虚数,其中i为虚数单位,则实数a的值是________. 3. 某同学5次数学练习的得分依次为114,116,114,114,117,则这5次得分的方差是________. Read x If x<0 Then m←2x+1 Else m←2-3x End If Print m 第4题 4. 根据如图所示的伪代码,当输入的x为-1时,最后输出m的值是________. 5. 在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1a0,b0的离心率为,则该双曲线的渐近线的方程是____________. 6. 某同学参加“新冠肺炎防疫知识”答题竞赛活动,需从4道题中随机抽取2道作答.若该同学会其中的3道题,则抽到的2道题他都会的概率是________. 7. 将函数fx=sin2x+的图象向右平移φ个单位长度得到函数gx的图象.若gx为奇函数,则φ的最小正值是________. 8. 已知非零向量b与a的夹角为120°,且|a|=2,|2a+b|=4,则|b|=________. 9. 已知等比数列{an}的各项均为正数,且8a1,a3,6a2成等差数列,则的值是________. 10. 在平面直角坐标系xOy中,已知过点-10,0的圆M与圆x2+y2-6x-6y=0相切于原点,则圆M的半径是________. 11. 唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示,其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画,体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体假设内壁表面光滑,忽略杯壁厚度,如图2所示.已知球的半径为R,酒杯内壁表面积为πR2.设酒杯上部分圆柱的体积为V1,下部分半球的体积为V2,则的值是________. 12. 已知函数fx=logaxa1的图象与直线y=kx-1k∈R相交.若其中一个交点的纵坐标为1,则k+a的最小值是________. 13. 已知函数fx=若关于x的不等式fx-mx-m-10短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形,两准线之间的距离为. 1 求椭圆C的标准方程; 2 直线ly=kx+mk0,m≠0与椭圆C交于P,Q两点,设直线OP,OQ的斜率分别为k1,k2.已知k2=k1·k2. ①求k的值; ②当△OPQ的面积最大时,求直线PQ的方程. 19. 本小题满分16分 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,λan+1+Sn·Sn+2=S,n∈N*,λ∈R. 1 若λ=-3,a2=-1,求a3的值; 2 若数列{an}的前k项成公差不为0的等差数列,求k的最大值; 3 若a20,是否存在λ∈R,使{an}为等比数列若存在,求出所有符合题意的λ的值;若不存在,请说明理由. 20. 本小题满分16分 对于定义在D上的函数fx,若存在k∈R,使fx0,过点M4p,0的直线l交抛物线于Ax1,y1,Bx2,y2两点.当AB垂直于x轴时,△OAB的面积为2. 1 求抛物线的方程; 2 设线段AB的垂直平分线交x轴于点T. ①求证y1y2为定值; ②若OA∥TB,求直线l的斜率. 23. 设n∈N*,k∈N,n≥k. 1 化简; 2 已知1-x2n=a0+a1x+a2x2++a2nx2n,记Fn=n+1.求证Fn能被2n+1整除. 2020届高三模拟考试试卷南通 数学参考答案及评分标准 1. {-1,0} 2. - 3. 4. 5. y=±2x 6. 7. 8. 4 9. 16 10. 5 11. 2 12. 3 13. 0,2∪2,3 14. ,2 15. 解 1 在△ABC中,由余弦定理得2a·=b, 化简得a2=c2,即a=c.2分 因为sin2C=sin Asin B,且===2RR为△ABC外接圆半径, 所以c2=ab,4分 所以c=a=b,所以△ABC为正三角形, 所以B=.6分 2 因为cos2A+B+3cos B=0,且B=π-A+C, 所以cos[π+A-C]+3cos[π-A+C]=0,8分 所以cosA-C=-3cosA+C,10分 即cos Acos C+sin Asin C=-3cos Acos C+3sin Asin C, 所以2cos Acos C=sin Asin C.12分 在斜三角形ABC中,因为A≠,C≠,所以cos A≠0,cos C≠0, 所以tan Atan C=2.14分 16. 证明1 因为侧面BCC1B1是矩形,所以BC⊥CC1. 因为平面ACC1A1⊥平面BCC1B1,平面ACC1A1∩平面BCC1B1=C1C,BC⊂平面BCC1B1, 所以BC⊥平面ACC1A1.4分 因为AC1⊂平面ACC1A1, 所以BC⊥AC1.6分 2 取A1C1的中点G,连结FG,CG. 在△A1B1C1中,点F,G分别是A1B1,A1C1的中点, 所以FG∥B1C1,且FG=B1C1.8分 在矩形BCC1B1中,点E是BC的中点, 所以EC∥B1C1,且EC=B1C1, 所以EC∥FG,且EC=FG.10分 所以四边形EFGC为平行四边形, 所以EF∥GC.12分 因为EF⊄平面ACC1A1,GC⊂平面ACC1A1, 所以EF∥平面ACC1A1.14分 17. 解方案1因为AB⊥AC, 所以∠EAC+∠BAD=90°. 在Rt△ABD中,∠ABD+∠BAD=90°, 所以∠EAC=∠ABD=α,α∈0,.2分 因为AD=AE=50, 在Rt△ADB和Rt△AEC中,AB=,AC=,4分 所以BC==50=, 所以fα=50++=50,其中α∈0,.7分 解法1设t=sin α+cos α,则t=sin α+cos α=sinα+. 因为α∈0,,所以t∈1,].9分 因为t2=1+2sin αcos α,所以sin αcos α=, 所以y==,12分 所以当t=时,fαmin==100+100. 答景观桥总长度的最小值为100+100米.14分 解法2f′α=.10分 因为α∈0,,所以-1-sin αcos α-sin α-cos α0. 当α∈0,时,cos α-sin α0,f′α0.7分 因为x0, 所以gx≥2+210分 =2+100≥2+100=100+100.12分 当且仅当=,且=x,即x=50时取“=”. 所以gxmin=100+100, 答景观桥总长度的最小值为100+100米.14分 18. 解1 设椭圆的焦距为2c,则c2=a2-b2. 因为短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形,所以c=b. 又两准线间的距离为,则=,所以a=2,b=1, 所以椭圆C的标准方程为+y2=1.3分 2 ① 设Px1,y1,Qx2,y2, 联立消去y得4k2+1x2+8kmx+4m2-4=0, Δ=64k2m2-44k2+14m2-40,化简得m20,所以k=.8分 ②由①得k=,直线PQ的方程为y=x+m, 且x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2,m21,得S31; 由S2,S31得S41, 依次类推,Sn≥10,所以**等价于=, 所以数列为常数列, 所以==a2.14分 于是n≥2时,两式相减得an+1=a2·an. 因为a2=a2·a1,所以an+1=a2·ann∈N*. 又a1,a2≠0,所以=a2非零常数,所以存在λ=1,使{an}为等比数列.16分 20. 1解a=0时,h1x=ln x+1. 因为h1x为“mk型函数”,所以h1x恒成立. 设gx=x≥1,则g′x=≤0恒成立, 所以gx在[1,+∞上单调递减,所以gx≤g1=1, 所以k的取值范围是1,+∞.3分 2 证明当a=-时,要证h2x为“M1型函数”, 即证1+xln x+≥x,即证1+xln x+-x≥0. 证法1令Rx=1+xln x+-x, 则R′x=ln x+1+x·--1=ln x+-=ln x+. 当x1时,ln x0,0,则R′x0; 当00, 所以Rx在0,1上单调递减,在1,+∞上单调递增,6分 以下同证法1. 3 证明函数fx为“m型函数”等价于px=1-2axln x-x0,不合题意; 当a≥2时,p=-1-≥4-e-0,不合题意;10分 当a=1时, 证法1px=1-2xln x-x, ①当x≥1或00, 所以存在唯一零点x0∈,,使得p′x0=-2ln x0+-=0, 且x0为px的最大值点,12分 所以px0=1-2x0ln x0-x0=-x0=2x0+-. 注意到y=2x+-在,上单调递增, 所以px0p=+-=3-0, 所以px0,所以p=, 所以抛物线的方程为y2=x.3分 2 ①证明由题意可知直线l与x轴不垂直. 由1知M2,0,设Ay,y1,By,y2,则kAB==. 由A,M,B三点共线,得=. 因为y1≠y2,化简得y1y2=-2.5分 ②解因为y1y2=-2,所以B,-. 因为线段AB垂直平分线的方程为y-=-y1+y2x-, 令y=0,得xT==y++1.7分 因为OA∥TB,所以kOA=kTB,即=, 整理得y+1y-4=0,解得y1=±2,故A4,±2. 所以kAM=±1,即直线l的斜率为±1.10分 23. 1 解= ==.3分 2 证明由1得=·=· =·+.6分 因为==·, 所以Fn=n+1=·. 因为 =+++++++++ =++++++ =+++++=2n, 所以Fn=n+1=·2n=n2n+1能被2n+1整除.10分
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