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高考数学一轮复习课时分层训练37归纳与类比理北师大版.doc

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高考 数学 一轮 复习 课时 分层 训练 37 归纳 类比 北师大
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课时分层训练三十七 归纳与类比 A组 基础达标 一、选择题 1.正弦函数是奇函数,fx=sinx2+1是正弦函数,因此fx=sinx2+1是奇函数,以上推理 A.结论正确 B.大前提不正确 C.小前提不正确D.全不正确 C [因为fx=sinx2+1不是正弦函数,所以小前提不正确.] 2.如图6­4­3,根据图中的数构成的规律,得a表示的数是 图6­4­3 A.12 B.48 C.60 D.144 D [由题图中的数可知,每行除首末两数外,其他数都等于它肩上两数的乘积,所以a=1212=144.] 3.2017·陕西渭南一模古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如如图6­4­4 图6­4­4 他们研究过图中的3,6,10,,由于这些数能够表示成三角形,故将其称为三角形数,由以上规律,知这些三角形数从小到大形成一个数列{an},那么a9的值为 【导学号79140206】 A.45B.55 C.65D.66 B [第1个图中,小石子有3=1+2个, 第2个图中,小石子有6=1+2+3个, 第3个图中,小石子有10=1+2+3+4个, 故第9个图中,小石子有1+2+3++10==55个,即a9=55,故选B.] 4.如图6­4­5所示,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当⊥时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于 图6­4­5 A.B. C.-1D.+1 A [设“黄金双曲线”方程为-=1, 则B0,b,F-c,0,Aa,0. 在“黄金双曲线”中, 因为⊥,所以·=0. 又=c,b,=-a,b. 所以b2=ac.而b2=c2-a2,所以c2-a2=ac. 在等号两边同除以a2,得e=.] 5.2018·南昌一模我国古代数学名著九章算术中有如下问题今有甲乙丙三人持钱,甲语乙丙各将公等所持钱,半以益我,钱成九十意思是把你们两个手上的钱各分我一半,我手上就有90钱;乙复语甲丙,各将公等所持钱,半以益我,钱成七十;丙复语甲乙各将公等所持钱,半以益我,钱成五十六,则乙手上有 A.28钱B.32钱 C.56钱D.70钱 B [设甲、乙、丙手上各有钱x,y,z,则由题意可得三式相加得x+y+z=108,则y+=70,解得y=32,故选B.] 二、填空题 6.若P0x0,y0在椭圆+=1a>b>0外,过P0作椭圆的两条切线的切点为P1,P2,则切点弦P1P2所在的直线方程是+=1,那么对于双曲线则有如下命题若Px0,y0在双曲线-=1a>0,b>0外,过P0作双曲线的两条切线,切点为P1,P2,则切点弦P1P2所在直线的方程是________. -=1 [类比椭圆的切点弦方程可得双曲线-=1的切点弦方程为-=1.] 7.观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此规律,第n个等式为________. n+n+1+n+2++3n-2=2n-12 [由前4个等式可知,第n个等式的左边第一个数为n,且连续2n-1个整数相加,右边为2n-12,故第n个等式为n+n+1+n+2++3n-2=2n-12.] 8.2018·重庆调研二甲、乙、丙三人各从图书馆借来一本书,他们约定读完后互相交换.三人都读完了这三本书之后,甲说“我最后读的书与丙读的第二本书相同.”乙说“我读的第二本书与甲读的第一本书相同.”根据以上说法,推断乙读的最后一本书是________读的第一本书. 【导学号79140207】 丙 [因为共有三本书,而乙读的第一本书与第二本书已经明确,只有丙读的第一本书乙还没有读,所以乙读的最后一本书是丙读的第一本书.] 三、解答题 9.设fx=,先分别求f0+f1,f-1+f2,f-2+f3,然后归纳猜想一般性结论,并给出证明. [解] f0+f1=+ =+=+=, 同理可得f-1+f2=, f-2+f3=,并注意到在这三个特殊式子中,自变量之和均等于1. 归纳猜想得当x1+x2=1时, 均有fx1+fx2=. 10.已知O是△ABC内任意一点,连接AO,BO,CO并延长,分别交对边于A′,B′,C′,则++=1,这是一道平面几何题,其证明常采用“面积法” ++=++==1. 请运用类比思想,对于空间中的四面体A­BCD,存在什么类似的结论,并用“体积法”证明. [解] 在四面体A­BCD中,任取一点O,连接AO,DO,BO,CO并延长,分别交四个面于E,F,G,H点. 则+++=1. 证明在四面体O­BCD与A­BCD中, ===. 同理有=;=;=. 所以+++ = ==1. B组 能力提升 11.给出以下数对序列 1,1; 1,22,1; 1,32,23,1; 1,42,33,24,1; 记第i行的第j个数对为aij,如a43=3,2,则anm= A.m,n-m+1 B.m-1,n-m C.m-1,n-m+1D.m,n-m A [由前4行的特点,归纳可得若anm=a,b,则a=m,b=n-m+1,所以anm=m,n-m+1.] 12.2016·全国卷Ⅱ有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________. 1和3 [法一由题意得丙的卡片上的数字不是2和3. 若丙的卡片上的数字是1和2,则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3,则甲的卡片上的数字是1和3,满足题意; 若丙的卡片上的数字是1和3,则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3,则甲的卡片上的数字是1和2,不满足甲的说法. 故甲的卡片上的数字是1和3. 法二因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2,所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5,所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1,所以乙的卡片上的数字是2和3,所以甲的卡片上的数字是1和3.] 13.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数 ①sin213°+cos217°-sin13°cos 17°; ②sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°; ③sin218°+cos212°-sin18°cos12°; ④sin2-18°+cos248°-sin-18°cos 48°; ⑤sin2-25°+cos255°-sin-25°cos 55°. 1试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; 2根据1的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 【导学号79140208】 [解] 1选择②式,计算如下 sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=1-sin 30° =1-=. 2法一三角恒等式为 sin2α+cos230°-α-sin αcos30°-α=. 证明如下 sin2α+cos230°-α-sin αcos30°-α =sin2α+cos 30°cos α+sin 30°sin α2-sin αcos 30°cos α+sin 30°sin α =sin2α+cos2α+sin αcos α+sin2α-sin αcos α-sin2α =sin2α+cos2α=. 法二三角恒等式为 sin2 α+cos230°-α-sin αcos30°-α=. 证明如下 sin2α+cos230°-α-sin αcos30°-α =+-sin αcos 30° cos α+sin 30°sin α =-cos 2α++cos 60°cos 2α+sin 60°sin 2α-sin αcos α-sin2α =-cos 2α++cos 2α+sin 2α-sin 2α-1-cos 2α =1-cos 2α-+cos 2α=. 6
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