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高考数学一轮复习课时分层训练41空间图形的基本关系与公理理北师大版.doc

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高考 数学 一轮 复习 课时 分层 训练 41 空间 图形 基本 关系 公理 北师大
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课时分层训练四十一 空间图形的基本关系与公理 A组 基础达标 一、选择题 1.下列命题中,真命题的个数为 ①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点,那么这两个平面重合; ②两条直线可以确定一个平面; ③空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内; ④若M∈α,M∈β,α∩β=l,则M∈l. A.1 B.2 C.3D.4 B [根据公理2可判断①是真命题;两条异面直线不能确定一个平面,故②是假命题;在空间中,相交于同一点的三条直线不一定共面如墙角,故③是假命题;根据公理3可知④是真命题.综上,真命题的个数为2.] 2.已知A,B,C,D是空间四点,命题甲A,B,C,D四点不共面,命题乙直线AC和BD不相交,则甲是乙成立的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 A [若A,B,C,D四点不共面,则直线AC和BD不共面,所以AC和BD不相交;若直线AC和BD不相交,若直线AC和BD平行时,A,B,C,D四点共面,所以甲是乙成立的充分不必要条件.] 3.若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是 【导学号79140226】 A.l与l1,l2都不相交 B.l与l1,l2都相交 C.l至多与l1,l2中的一条相交 D.l至少与l1,l2中的一条相交 D [由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行,故l1,l2中至少有一条与l相交.] 4.2018·兰州实战模拟已知长方体ABCD­A1B1C1D1中,AA1=AB=,AD=1,则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为 A.B. C.D. A [连接AC,AB1图略,由长方体性质可知AB1∥DC1,所以∠AB1C就是异面直线B1C和C1D所成的角.由题知AC==2,AB1==,CB1==2,所以由余弦定理得cos∠AB1C==,故选A.] 5.2016·全国卷Ⅰ平面α过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为 A.B. C.D. A [设平面CB1D1∩平面ABCD=m1. ∵平面α∥平面CB1D1,∴m1∥m. 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1, 且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴B1D1∥m1,∴B1D1∥m. ∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1, 且平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1, 同理可证CD1∥n. 因此直线m,n所成的角与直线B1D1,CD1所成的角相等,即∠CD1B1为m,n所成的角. 在正方体ABCD­A1B1C1D1中,△CB1D1是正三角形, 故直线B1D1与CD1所成角为60°,其正弦值为.] 二、填空题 6.2018·湖北调考已知正六棱锥S­ABCDEF的底面边长和高均为1,则异面直线SC与DE所成角的大小为________. [设正六边形ABCDEF的中心为O,连接SO,CO,BO,则由正六边形的性质知OC∥DE,SO⊥平面ABCDEF,所以∠SCO为异面直线SC与DE所成角.又易知△BOC为等边三角形,所以SO=BC=CO=1,所以∠SCO=.] 7.若平面α,β相交,在α,β内各取两点,这四点都不在交线上,这四点能确定________个平面. 1或4 [如果这四点在同一平面内,那么确定一个平面;如果这四点不共面,则任意三点可确定一个平面,所以可确定四个平面.] 8.2017·郑州模拟在图7­2­7中,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有________填上所有正确答案的序号. 【导学号79140227】 1 2 3 4 图7­2­7 24 [图1中,直线GH∥MN;图2中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面;图3中,连接MG图略,GM∥HN,因此GH与MN共面;图4中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN异面,所以在图24中,GH与MN异面.] 三、解答题 9.如图7­2­8所示,正方体ABCD­A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点.问 图7­2­8 1AM和CN是否是异面直线说明理由; 2D1B和CC1是否是异面直线说明理由. [解] 1AM,CN不是异面直线.理由连接MN,A1C1,AC. 因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点,所以MN∥A1C1. 又因为A1AC1C,所以A1ACC1为平行四边形, 所以A1C1∥AC,所以MN∥AC, 所以A,M,N,C在同一平面内, 故AM和CN不是异面直线. 2直线D1B和CC1是异面直线. 理由因为ABCD­A1B1C1D1是正方体,所以B,C,C1,D1不共面.假设D1B与CC1不是异面直线, 则存在平面α,使D1B平面α,CC1平面α, 所以D1,B,C,C1∈α, 这与B,C,C1,D1不共面矛盾,所以假设不成立, 即D1B和CC1是异面直线.] 10.如图7­2­9所示,在三棱锥P­ABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点.已知∠BAC=,AB=2,AC=2,PA=2.求 图7­2­9 1三棱锥P­ABC的体积; 2异面直线BC与AD所成角的余弦值. [解] 1S△ABC=22=2, 三棱锥P­ABC的体积为 V=S△ABC·PA=22=. 2如图,取PB的中点E,连接DE,AE,则ED∥BC,所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角或其补角. 在△ADE中,DE=2,AE=,AD=2,cos∠ADE==. 故异面直线BC与AD所成角的余弦值为. B组 能力提升 11.2018·陕西质检一已知P是△ABC所在平面外的一点,M,N分别是AB,PC的中点.若MN=BC=4,PA=4,则异面直线PA与MN所成角的大小是 A.30°B.45° C.60°D.90° A [取AC中点为O,连接OM,ON,则易证OM綊BC,ON綊PA,所以∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角.由MN=BC=4,PA=4,得OM=BC=2,ON=AP=2,则cos∠ONM==,所以∠ONM=30°,即异面直线PA与MN所成角的大小是30°,故选A.] 12.如图7­2­10,正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,∠ACB=90°,F,G分别是线段AE,BC的中点,则AD与GF所成的角的余弦值为________. 【导学号79140228】 图7­2­10 [取DE的中点H,连接HF,GH. 由题设,HFAD, 所以∠GFH为异面直线AD与GF所成的角或其补角. 在△GHF中,可求HF=, GF=GH=, ∴cos∠GFH==.] 13.如图7­2­11,在四棱锥O­ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点. 图7­2­11 1求四棱锥O­ABCD的体积; 2求异面直线OC与MD所成角的正切值. [解] 1由已知可求得正方形ABCD的面积S=4, ∴四棱锥O­ABCD的体积V=42=. 2如图,连接AC,设线段AC的中点为E,连接ME,DE. 又M为OA中点,∴ME∥OC, 则∠EMD或其补角为异面直线OC与MD所成的角,由已知可得 DE=,EM=,MD=,∵2+2=2, ∴△DEM为直角三角形, ∴tan∠EMD===. ∴异面直线OC与MD所成角的正切值为. 7
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