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高三数学《直线与圆》专题复习题含答案.docx

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直线与圆 数学 直线 专题 复习题 答案
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直线与圆专题复习题含答案 考点一直线的方程 [考点] 1.两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则l1∥l2⇔k1=k2,l1⊥l2⇔k1k2=-1.若给出的直线方程中存在字母系数,则要考虑斜率是否存在. 2.两个距离公式 1两平行直线l1Ax+By+C1=0,l2Ax+By+C2=0间的距离d=. 2点x0,y0到直线lAx+By+C=0的距离公式d=. [典例] 1“a=2”是“直线ax+2y=0与直线x+y=1平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析若a=2,直线ax+2y=0与直线x+y=1显然平行,若直线ax+2y=0与直线x+y=1平行,由=≠,易得a=2. 答案C 2.若点1,1到直线xcosα+ysinα=2的距离为d,则d的最大值是__________. 解析依题意有d=|cosα+sinα-2|=|sinα+-2|, 于是当sinα+=-1时,d取得最大值2+. 答案2+ 解题通法 求直线方程的2种方法 1直接法选用恰当的直线方程的形式,由题设条件直接求出方程中的系数,写出结果. 2待定系数法先由直线满足的一个条件设出直线方程,使方程中含有待定系数,再由题设条件构建方程,求出待定系数. [练习] 1.若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ的中点坐标为1,-1,则直线l的斜率为 A. B.- C.-D. 解析由直线l与直线y=1,x=7分别交于点P、Q,可设Px1,1,Q7,y1,再由线段PQ的中点坐标为1,-1,可解得x1=-5,y1=-3.即直线l上有两点P-5,1,Q7,-3,代入斜率公式可解得直线l的斜率为k==-. 答案B 2.直线l13x-y+1=0,直线l2过点1,0,且l2的倾斜角是l1的倾斜角的2倍,则直线l2的方程为 A.y=6x+1 B.y=6x-1 C.y=x-1 D.y=-x-1 解析设直线l1的倾斜角为α,则由tanα=3可求出直线l2的斜率k=tan2α==-,再由直线l2过点1,0即可求得其方程. 答案D . 考点二圆的方程 [考点] 1.圆的标准方程 当圆心为a,b,半径为r时,其标准方程为x-a2+y-b2=r2,特别地,当圆心在原点时,方程为x2+y2=r2. 2.圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F0,表示以为圆心,为半径的圆. [典例] 1已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M0,在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为________. [解析] 因为圆C的圆心在x轴的正半轴上,设Ca,0,且a>0,所以圆心到直线2x-y=0的距离d==,解得a=2, 所以圆C的半径r=|CM|==3, 所以圆C的方程为x-22+y2=9. [答案] x-22+y2=9 2已知a∈R,方程a2x2+a+2y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是________,半径是________. [解析] 由二元二次方程表示圆的条件可得a2=a+2,解得a=2或-1.当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,即x2+y2+x+2y+=0,配方得+y+12=-<0,不表示圆; 当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,配方得x+22+y+42=25,则圆心坐标为-2,-4,半径是5. [答案] -2,-4 5 解题通法 求圆的方程的2种方法 1几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系,从而求得圆的基本量和方程. 2代数法用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数,从而求得圆的方程. [练习] 1.与圆Cx2+y2-2x+4y=0外切于原点,且半径为2的圆的标准方程为________. 解析所求圆的圆心在直线y=-2x上,所以可设所求圆的圆心为a,-2aa0⇔相交;Δ=0⇔相切;Δ0⇔相离; 2几何法把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较dr⇔相离. [典例] 1设直线y=x+2a与圆Cx2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为________. [解析] 圆Cx2+y2-2ay-2=0化为标准方程为x2+y-a2=a2+2, 所以圆心C0,a,半径r=,因为|AB|=2,点C到直线y=x+2a,即x-y+2a=0的距离d==,由勾股定理得+=a2+2,解得a2=2, 所以r=2,所以圆C的面积为π22=4π. [答案] 4π 2已知直线lx-y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,则|CD|=________. [解析] 如图所示, ∵直线AB的方程为x-y+6=0, ∴kAB=,∴∠BPD=30°,从而∠BDP=60°. 在Rt△BOD中,∵|OB|=2,∴|OD|=2. 取AB的中点H,连接OH,则OH⊥AB, ∴OH为直角梯形ABDC的中位线, ∴|OC|=|OD|,∴|CD|=2|OD|=22=4. [答案] 4 弦长问题的2种求解方法 1利用半径r,弦心距d,弦长l的一半构成直角三角形,结合勾股定理d2+=r2求解; 2若斜率为k的直线l与圆C交于Ax1,y1,Bx2,y2两点,则|AB|=|x1-x2|. [练习] 1.已知直线ax+y-1=0与圆Cx-12+y+a2=1相交于A,B两点,且△ABC为等腰直角三角形,则实数a的值为 A.或-1 B.-1 C.1或-1 D.1 解析选C 由题意得,圆心1,-a到直线ax+y-1=0的距离为,∴=,解得a=±1,故选C. 2.已知直线lx+ay-1=0a∈R是圆Cx2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点 A-4,a作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|= A.2 B.4C.6 D.2 解析选C 由于直线x+ay-1=0是圆Cx2+y2-4x-2y+1=0的对称轴,∴圆心C2,1在直线x+ay-1=0上,∴2+a-1=0,∴a=-1,∴A-4,-1,∴|AC|2=36+4=40.又r=2,∴|AB|2=40-4=36.∴|AB|=6. 解题通法 直线和圆与其他知识的交汇 高考对直线和圆的考查重在基础,多以选择题、填空题形式出现,将直线和圆与函数、不等式、平面向量、数列及圆锥曲线、概率等知识交汇,体现命题创新. [典例] 已知不等式组表示平面区域Ω,过区域Ω中的任意一个点P,作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A,B,当四边形PAOB的面积最小时,cos∠APB的值为 A.B.C.D. [解析] 选B 作出平面区域Ω和单位圆x2+y2=1,lx+y-2=0, 数形结合可得S四边形PAOB=2S△PAO=2PA1=PA. ∴当P到原点距离最小时,四边形PAOB的面积最小,此时PO⊥l,且|PO|=2,故∠APO=,∴∠APB 解题通法 求解与圆有关最值问题常用转化与化归思想,常见类型有 1圆外一点与圆上任一点间距离的最值; 2直线与圆相离,圆上的点到直线的距离的最值; 3直线与圆相离,过直线上一点作圆的切线,切线长的最小值问题; 4形如求ax+by,等的最值,转化为直线与圆的位置关系. [练习] 1.已知圆C1x2+y2-6x-7=0与圆C2x2+y2-6y-27=0相交于A、B两点,则线段AB的中垂线方程为________. 解析AB的中垂线即为圆C1、圆C2的连心线C1C2,又C13,0,C20,3,C1C2的方程为x+y-3=0,即线段AB的中垂线方程为x+y-3=0. 答案x+y-3=0 2.2010·浙江教育考试院设直线3x+4y-5=0与圆C1x2+y2=4交于A,B两点,若圆C2的圆心在线段AB上,且圆C2与圆C1相切,切点在圆C1的劣弧上,则圆C2的半径的最大值是________. 解析由题意结合圆的性质得当圆C2的圆心C2为AB的中点时圆C2的半径最大.而原点到直线3x+4y-5=0的距离为1,圆C2过原点O,所以圆C2的半径最大值为1. 答案1 - 6 -
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