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高三数学《三角恒等变换与解三角形》专题复习题含答案.doc

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三角恒等变换与解三角形 数学 三角 恒等 变换 三角形 专题 复习题 答案
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三角恒等变换与解三角形专题复习题含答案 一、选择题 1.已知α∈,2sin2α=cos2α+1,则sinα= A. B. C. D. 2.若tan=-3,则sin2α-cos2α= A. B.- C.-1 D.3 3.已知sinx+cosx=,则cos= A. B. C. D. 答案 B 4.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若2cosB=,则该三角形一定是 A.等腰三角形B.直角三角形 C.等边三角形D.等腰直角三角形 5.已知sinα+β=,sinα-β=,则log 2等于 A.2 B.3 C.4 D.5 6.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为 A. B. C. D. 7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a,b,c成等比数列,且a2=c2+ac-bc,则= A. B. C. D. 8.设锐角三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,B=2A,则b的取值范围为 A.0.4 B.2.2 C.2,2 D.2,4 9.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,A=60°,a=4,b=4,则B= A.B=30°或B=150°B.B=150° C.B=30°D.B=60°或B=150° 10.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知absinC=20sinB,a2+c2=41,且8cosB=1,则b= A.6 B.4 C.3 D.7 11.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,已知C=45°,c=,a=x,若满足条件的三角形有两个,则x的取值范围是 A.x1 B.x2 C.1x2 D.1x 12.若sin2α=,sinβ-α=,且α∈,β∈,则α+β的值是 A. B. C.或 D.或 二、填空题 13.已知sin10°+mcos10°=-2cos40°,则m=________. 14.公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割值约为0.618,这一数值也可以表示为m=2sin18°.若m2+n=4,则=________. 15.已知点3,a和2a.4分别在角β和角β-45°的终边上,则实数a的值是________. 16.在△ABC中,a,b,c为∠A,∠B,∠C的对边,a,b,c成等比数列,a+c=3,cosB=,则·=________. 三、解答题 17.已知△ABC中,A=,cosB=,AC=8. 1求△ABC的面积;2求AB边上的中线CD的长. 18.在△ABC中,AB=2,AC=,AD为△ABC的内角平分线,AD=2. 1求的值;2求角A的大小. 19.在△ABC中,3sinA=2sinB,tanC=2. 1证明△ABC为等腰三角形; 2若△ABC的面积为2,D为AC边上一点,且BD=3CD,求线段CD的长. 20.如图所示,锐角△ABC中,AC=5,点D在线段BC上,且CD=3,△ACD的面积为6,延长BA至E,使得EC⊥BC. 1求AD的值; 2若sin∠BEC=,求AE的值. 三角恒等变换与解三角形专题复习题含答案 参考答案 一、选择题 1、答案 B 解析 由2sin2α=cos2α+1,得4sinαcosα=2cos2α.又∵α∈,∴tanα=,∴sinα=.故选B. 2、答案 A 解析 因为tan=-3⇒=-3⇒tanα=2,所以sin2α-cos2α====,故选A. 3、答案 B 解析 由sinx+cosx=,得2sin=,所以cos=sin=,故选B. 4、答案 A 解析 由2cosB=得2=,即c2=b2,∴b=c,∴△ABC为等腰三角形,故选A. 5、答案 C 解析 因为sinα+β=,sinα-β=,所以sinαcosβ+cosαsinβ=,sinαcosβ-cosαsinβ=, 所以sinαcosβ=,cosαsinβ=,所以=5,所以log 2=log 52=4.故选C. 6、答案 D 解析 根据题意可设此三角形的三边长分别为2t.2t,t,由余弦定理得它的顶角的余弦值为=. 7、答案 B 解析 由a,b,c成等比数列得b2=ac,则有a2=c2+b2-bc,由余弦定理得cosA===,故A=,对于b2=ac, sin2B=sinAsinC=·sinC,===. 8、答案 C 解析 ∵a=2,B=2A,∴02A,A+B=3A,∴3Aπ,∴A,又0A,∴cosA,由正弦定理得=b=2cosA,即b=4cosA,∴24cosAb,∴B60°,∴B=30°,故选C. 10、答案 A 解析 因为absinC=20sinB,所以由正弦定理得abc=20b,所以ac=20,又因为a2+c2=41,cosB=,所以由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=41-220=36,所以b=6. 11、答案 B 解析 在△ABC中,由正弦定理得=,即=,可得sinA=x,由题意得当A∈时,满足条件的△ABC有两个,所以x1,解得x2,则a的取值范围是,2,故选B. 12、答案 A 解析 因为α∈,所以2α∈,又sin2α=,所以2α∈,α∈, 所以cos2α=-.又β∈,所以β-α∈,故cosβ-α=-, 所以cosα+β=cos[2α+β-α]=cos2αcosβ-α-sin2αsinβ-α=--=,又α+β∈,故α+β=,选A. 二、填空题 13、答案 - 解析 由sin10°+mcos10°=-2cos40°得sin10°+mcos10°=-2cos10°+30°=-2,所以m=-. 14、答案 2 解析 因为m=2sin18°,m2+n=4,所以n=4-m2=4-4sin218°=4cos218°, 所以===2. 15、答案 6 解析 由题得tanβ=,tanβ-45°===,所以a2-5a-6=0,解得a=6或-1, 当a=-1时,两个点分别在第四象限和第二象限,不符合题意,舍去,所以a=6. 16、答案 - 解析 因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac.又因为a+c=3,cosB=.根据余弦定理得 b2=a2+c2-2accosB=a+c2-2ac-2accosB,所以ac=32-2ac-ac, 解得ac=2,所以·=c·acosπ-B=-accosB=-2=-. 三、解答题 17、解 1∵cosB=,且B∈0,π,∴sinB==, ∴sinC=sinπ-A-B=sinA+B=sinAcosB+cosAsinB=+=,在△ABC中,由正弦定理,得=,即=,解得AB=7. ∴△ABC的面积为S=AB·AC·sinA=78=28. 2解法一在△ACD中,AD=, ∴由余弦定理得CD2=82+2-28=,∴CD=. 解法二∵cosB=, ∵A=,∴C为锐角,故cosC== ∵+=2,∴4||2=+2=||2+2·+||2=64+285+50=130,∴CD=. 18、解 1在△ABD中,由正弦定理,得=, 在△ACD中,由正弦定理,得=, ∵sin∠ADB=sin∠ADC,AC=,AB=2,∴==2. 2在△ABD中,由余弦定理,得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos=16-8cos, 在△ACD中,由余弦定理,得CD2=AC2+AD2-2AC·ADcos=7-4cos,所以=4,解得cos=,又∈,∴=,即A=. 19、解 1证明∵3sinA=2sinB,∴3a=2b,∵tanC=2,∴cosC=, 设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-2acosC=b2,即b=c,则△ABC为等腰三角形. 2∵tanC=2,∴sinC=,则△ABC的面积S=absinC=a2=2,解得a=2.设CD=x,则BD=3x,由余弦定理可得3x2=x2+22-4x,解得x=负根舍去,从而线段CD的长为. 20、解 1在△ACD中,S△ACD=AC·CDsin∠ACD=53sin∠ACD=6, 所以sin∠ACD=,因为0°∠ACD90°,所以cos∠ACD==. 由余弦定理得,AD2=CD2+CA2-2·CD·CA·cos∠ACD=56,得AD=2. 2因为EC⊥BC,所以sin∠ACE=sin90°-∠ACD=cos∠ACD=. 在△AEC中,由正弦定理得,=,即=,所以AE= - 8 -
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