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大学生数学竞赛训练五微分方程一、（15分）设函数在上可导，且，对任给的满足等式1）求导数；2）证明：当时，成立不等式：。解：1）设，则有当时有两边关于求导得解微分方程得由条件可得，因此2）当时，，所以此时有；又因为，当时，，所以此时有，因此当时，有大学生数学竞赛训练一（极限）一、计算解：因为原式又因[ Tag ]
导数、微分及其应用训练 一、 （15分）证明：多项式无实零点。 证明：用反证法证明，设存在实根，则此根一定是负实根（因为当时，）。假设，则有。因为 由此可得，但是，这是一个矛盾。所以多项式无实零点。 二、 （20分）设函数在上具有连续导数，在内二阶可导，证明：存在，使得 证明：设。对函数在区间上运用拉格朗日中值定理可得，存在使得
大学生数学竞赛训练五微分方程 一、 （15分）设函数在上可导，且，对任给的满足等式 1）求导数； 2）证明：当时，成立不等式：。 解：1）设，则有 当时有 两边关于求导得 解微分方程得 由条件可得，因此 2）当时，，所以此时有； 又因为，当时，，所以此时有，因此当时，有
大学生数学竞赛训练一（极限） 一、 计算 解：因为 原式 又因为 所以。 二、 计算 解：因为 所以。 三、 计算 解：设，则 因为，所以 。 四、 计算 解：因为 ，所以 五、 设数列定义如下 证明：极限。 证明：方法一、 考虑函数，因为，当时，。 由此可得时，在上的最大值为，且在是递增的。所以
大学生数学竞赛训练三积分学 一、 （15分）计算。 解：原式 二、 （20分）设曲面和球面 1）求位于内部的面积 2）设，求位于内部的体积。 解：1）解方程组得 方法二、 。 2）此为旋转体的体积 方法二、 三、 （15分）求，其中为球面，并取外侧。 解：对应外侧的单位法向量为 由对称性可得，所以 。 四、 （15分）设函数具有二阶导数，且，函数在区
一、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）计算下列各题（要求写出计算步骤） 1） 解：因为 所以，原式 2）设，求。 解：因为 所以。 3）求，其中。 解： 4）求幂级数的和函数，并求级数的和。 解：设，则有 上式两边关于求导得 。 二、（本题共16分）设为数列，为有限数，求证： 1）如果，则 2）如果存在正整数，使得，则。 证明：1）因为所以存在有。
大学生数学竞赛训练四级数 一、（20分）设 1）证明： 2）计算 证明：1）设，因为 所以，当时，为常数，即有 （注意这里利用了极限） 2） 。 二、（15分）设在点的一个邻域内有连续导数，且。证明：级数收敛，但级数发散。 证明：因为，由连续性可得，由导数的连续性可得存在的一个邻域内，这就说明当充分大时，数列是递减的，并且，由莱
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